Wstęp do teorii pierścieni nieprzemiennych

Opis książki

Spis treści
Wstęp 9
1 Pojecie pierścienia 11
1.1 Określenie pierścienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Własności działań w pierścieniu . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Elementy odwracalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Podpierścienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Przykłady pierścieni 21
2.1 Pierścienie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Szeregi formalne i wielomiany . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Iloczyn prosty i suma prosta pierścieni . . . . . . . . . 29
3 Ideały jednostronne pierścieni 31
3.1 Iloczyny algebraiczne podgrup . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Ideały lewostronne pierścieni . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Ideały prawostronne pierścieni . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Ideały pierścieni 41
4.1 Ideały obustronne pierścieni . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Ważne rodzaje ideałów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Pierścienie ilorazowe 51
5.1 Konstrukcja pierścienia ilorazowego . . . . . . . . . . . 51
5.2 Podpierścienie i ideały w pierścieniach ilorazowych . . . 52
5.3 Pierścienie proste, pierwsze i półpierwsze . . . . . . . . 55
6 Homomorfizmy pierścieni 61
6.1 Określenie homomorfizmu pierścieni . . . . . . . . . . . 61
6.2 Własności homomorfizmów pierścieni . . . . . . . . . . 62
6.3 Twierdzenia o izomorfizmach . . . . . . . . . . . . . . . 67
7 Przykłady homomorfizmów 69
7.1 Dołączanie jedynki do pierścienia . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Homomorfizmy na pierścieniach macierzy . . . . . . . . 71
7.3 Homomorfizmy na pierścieniach wielomianów . . . . . . 75
7.4 Homomorfizmy związane z iloczynami prostymi . . . . 77
8 Własności pierścieni macierzy 79
8.1 Centrum pierścienia macierzy . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2 Ideały istotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3 Pierścienie macierzy pierwsze i półpierwsze . . . . . . 84
8.4 Macierze odwracalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9 Wewnętrzne sumy proste 89
9.1 Wewnętrzne sumy proste podgrup . . . . . . . . . . . . 89
9.2 Wewnętrzne sumy proste ideałów . . . . . . . . . . . . 94
10 Pierścienie artinowskie 99
10.1 Określenie pierścienia artinowskiego . . . . . . . . . . . 99
10.2 Półpierwsze pierścienie artinowskie . . . . . . . . . . . 104
11 Struktura półpierwszych pierścieni artinowskich 109
11.1 Jednostronne ideały artinowskie . . . . . . . . . . . . . 109
11.2 Twierdzenie Wedderburna-Artina . . . . . . . . . . . . 113
12 Skończone pierścienie z dzieleniem 119
12.1 Wielomiany podziału koła . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12.2 Twierdzenie Wedderburna . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13 Pierścienie zredukowane 129
13.1 Podstawowe własności pierścieni zredukowanych . . . . 129
13.2 Twierdzenie Andrunakiewicza - Rjabuhina . . . . . . . 132
14 Pierścienie Jacobsona 137
14.1 Podstawowe własności pierścieni Jacobsona . . . . . . . 137
14.2 Pierścienie endomorfizmów grup abelowych . . . . . . . 141
15 Pierścienie regularne w sensie von Neumanna 147
15.1 Podstawowe własności pierścieni regularnych . . . . . . 147
15.2 Pierścienie silnie regularne . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Literatura 159