Współczesna matematyka często postrzegana jest jako królowa nauk ścisłych, nieustannie poszerza granice ludzkiego poznania. Jej dynamiczny rozwój w XXI wieku przejawia się nie tylko w pogłębianiu fundamentalnych teorii, ale także w tworzeniu nowych, nieoczekiwanych powiązań między pozornie odległymi dyscyplinami. Matematyka stała się uniwersalnym językiem opisu złożonych systemów — od fluktuacji rynków finansowych po struktury algebraiczne leżące u podstaw współczesnej kryptografii. Niniejsza monografia, stanowiąca przegląd wybranych kierunków badań prowadzonych na Wydziale Matematyki Uniwersytetu w Białymstoku, stara się ukazać bogactwo współczesnej matematyki. [...] Mamy nadzieję, że monografia ta poprzez prezentację zróżnicowanych i zaawansowanych tematów posłuży jako źródło inspiracji i wiedzy dla studentów, doktorantów i pracowników naukowych.

The book summarizes inception and history of the renowned Polish international conference Workshop on Geometric Methods in Physics.” The first Workshop of 1982 was organized in a venue that was to easily become its most recognizable and unique brand, Białowieża. The topics of interest were focused from the start on an increasingly important, distinctive blend of mathematics and physics which might be presumably best described today as mathematical physics. As comprehensively chronicled in the book, specific interactions of rigorous scientific disciplines, individual participants of the Workshop and Białowieża’s natural surroundings provided essential knowledge transfer, generated countless successful collaborations together with complementary interpersonal relations and generally contributed to development of excellent science on the highest international level.
doc. Ing. Jiří Hrivnák, Ph.D. (ČVUT)

The book contains the history of the “Workshop on Geometric Methods in Physics,” founded and organized for almost 40 years by the recently deceased long‐time professor of physics and mathemaꢀcs at the University of Białystok, Professor Anatol Odzijewicz. This annual conference continues to be organized by the Faculty of Mathematics at the University of Bialystok, and due to its international character it is an important part of the scientific and teaching life of the Faculty and provides the University with worldwide prestige. The idea of commemorating the 40th anniversary of the history of this series of conferences is very valuable and helps to preserve the memory and honor the founder and important participants of the Workshop. Unfortunately, people are passing away and this was probably the last moment to gather information about the beginnings of the Workshop's history.
prof. dr hab. Piotr Kielanowski (CINVESTAV)

The reviewed monograph presents the basic concepts of abstract algebra. There are described the fundamental notions, properties, and theorems concerning the groups, rings, fields, and homomorphisms of these structures. Moreover, in the first chapter, the author presents the facts and concepts of elementary number theory used in the textbook. Virtually all of the proofs and examples presented in the text are described in great detail with thorough explanations.

the translation of a fragment of the review by
Maciej Bocheński, prof. UWM, Hab., PhD.

The book is written very carefully, with attention to formalism and logical arrangement, both in terms of the overall material as well as the proofs of particular theorems. References to the previously discussed facts are used with rare scrupulousness, even when these facts can be easily guessed. To illustrate the considered notions and show how the properties of some objects should be verified or examined, the author provides numerous examples. There are almost 200 of them in the 315-page textbook. (...) They add significant value to the textbook, among other things because they provide a specific approach to solving tasks and problems that may appear during tests and exams.

the translation of a fragment of the review by
Czesław Bagiński, prof. PB, Hab., PhD.

Bardzo mi się podoba, iż Autorzy zwracają uwagę na kwestie przedłużalności rozwiązań w bardzo przystępny sposób (...). Cenne jest opracowanie układów liniowych – w tak pełnej formie nie ma tego ujęcia w polskiej literaturze.
Z recenzji dr. hab. Marka Galewskiego, prof. PŁ

Autorzy w obszerny sposób przedstawili podstawowe metody rozwiązywania niektórych typów równań różniczkowych pierwszego i wyższych rzędów oraz układów równań różniczkowych. Omówili również, bardzo ważne w teorii równań różniczkowych, różne wersje twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego.
Z recenzji dr hab. Mirosławy Zimy, prof. UR

Publikacja będzie z pewnością kolejną cenną pozycją z zakresu dydaktyki wydaną przez Wydawnictwo Uniwersytetu w Białymstoku, a jej adresatami (jak podkreślają Autorki) mogą być zarówno nauczyciele, jak również uczniowie i rodzice. Po zapoznaniu się z treścią książki czytelnicy przekonają się, że twórcze myślenie rzeczywiście pozwala zrozumieć matematykę. Uważam, że opracowanie można śmiało polecić tym wszystkim, którzy zajmują się stylem nauczania matematyki. W książce znajdą oni przykładowe zajęcia, które z pewnością wyzwalają kreatywność matematyczną w uczniach.
Z recenzji dr hab. Małgorzaty Wyrwas, prof. PB

Praca pt. „Kreatywne kształcenie matematyczne” to niezwykle ciekawa pozycja, bardzo potrzebna na rynku wydawniczym. O potrzebie takiego kształcenia, jakie opisują i proponują Autorki, powszechnie wiadomo, ale jednak brakuje gotowych podpowiedzi i przykładów. Książka jest tak przygotowana, że zapewnia nie tylko wiedzę teoretyczną, ale też sporą porcję praktycznych pomysłów, jak poprowadzić zajęcia matematyczne z uczniami. […] Może być doskonałą inspiracją dla nauczycieli matematyki, a także pracowników wydziałów matematyki innych uczelni.
Z recenzji dr hab. Grażyny Rygał (UJD)

Monografia R.R. Andruszkiewicza Równania diofantyczne przedstawia szerokie spektrum metod stosowanych w bardzo klasycznej teorii matematycznej – teorii równań diofantycznych. Autor koncentruje się z jednej strony na przedstawieniu podstawowych faktów z elementarnej teorii liczb, oraz z drugiej na prezentacji bardziej zaawansowanych rezultatów dotyczących równań diofantycznych, w tym rezultatów otrzymanych niedawno. W książce odnajdujemy m.in. precyzyjne omówienie teorii kongruencji, liniowych równań diofantycznych, równań stopni drugiego, trzeciego i czwartego, równania Pella i powiązanej z nim teorii ułamków łańcuchowych. Istotną część monografii stanowią metody algebraiczne wykorzystujące arytmetykę pierścieni euklidesowych w dowodach twierdzeń Lebesgue’a, Nagella, Cohna, Ramanujana-Nagella oraz Mordella. Niewątpliwą zaletą książki jest to, że stanowi ona zamkniętą całość. Czytelnik znajduje w niej wszystkie niezbędne fakty (wraz z dowodami) konieczne do przedstawienia głównych twierdzeń. Książka jest bogata w treści. Napisana jest z dbałością o szczegóły i ścisłość rozumowań. Podkreślić warto liczne, starannie dobrane przykłady i zadania, które pozwolą czytelnikowi lepiej zrozumieć istotę rozważanych zagadnień. W mojej ocenie książka R.R. Andruszkiewicza posiada wysokie walory poznawcze i dydaktyczne.
Z recenzji prof. dr. hab. Piotra Grzeszczuka (PB)

Monografia pisana jest z myślą o młodych adeptach matematyki. Zawiera obszerny materiał dotyczący równań diofantycznych przy możliwie małym użyciu zaawansowanego aparatu matematycznego. Dzięki temu może być zapewne dostępny i ciekawy nie tylko dla studentów, ale i dla zainteresowanych matematycznie licealistów. Można w nim zobaczyć zarówno dużo przykładów i zastosowań, jak również zadań do samodzielnego rozwiązania. Na uwagę zasługuje fakt, że praca zawiera nie tylko opis metod, rezultatów i zastosowań klasycznych, ale można tam również znaleźć informacje i dowody dotyczące problemów, które zostały rozwiązane współcześnie.
Z recenzji dr. hab. Jerzego Matczuka, prof. UW

Spis treści
Wstęp 9
1 Pojecie pierścienia 11
1.1 Określenie pierścienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Własności działań w pierścieniu . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Elementy odwracalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Podpierścienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Przykłady pierścieni 21
2.1 Pierścienie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Szeregi formalne i wielomiany . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Iloczyn prosty i suma prosta pierścieni . . . . . . . . . 29
3 Ideały jednostronne pierścieni 31
3.1 Iloczyny algebraiczne podgrup . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Ideały lewostronne pierścieni . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Ideały prawostronne pierścieni . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Ideały pierścieni 41
4.1 Ideały obustronne pierścieni . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Ważne rodzaje ideałów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Pierścienie ilorazowe 51
5.1 Konstrukcja pierścienia ilorazowego . . . . . . . . . . . 51
5.2 Podpierścienie i ideały w pierścieniach ilorazowych . . . 52
5.3 Pierścienie proste, pierwsze i półpierwsze . . . . . . . . 55
6 Homomorfizmy pierścieni 61
6.1 Określenie homomorfizmu pierścieni . . . . . . . . . . . 61
6.2 Własności homomorfizmów pierścieni . . . . . . . . . . 62
6.3 Twierdzenia o izomorfizmach . . . . . . . . . . . . . . . 67
7 Przykłady homomorfizmów 69
7.1 Dołączanie jedynki do pierścienia . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Homomorfizmy na pierścieniach macierzy . . . . . . . . 71
7.3 Homomorfizmy na pierścieniach wielomianów . . . . . . 75
7.4 Homomorfizmy związane z iloczynami prostymi . . . . 77
8 Własności pierścieni macierzy 79
8.1 Centrum pierścienia macierzy . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2 Ideały istotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3 Pierścienie macierzy pierwsze i półpierwsze . . . . . . 84
8.4 Macierze odwracalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9 Wewnętrzne sumy proste 89
9.1 Wewnętrzne sumy proste podgrup . . . . . . . . . . . . 89
9.2 Wewnętrzne sumy proste ideałów . . . . . . . . . . . . 94
10 Pierścienie artinowskie 99
10.1 Określenie pierścienia artinowskiego . . . . . . . . . . . 99
10.2 Półpierwsze pierścienie artinowskie . . . . . . . . . . . 104
11 Struktura półpierwszych pierścieni artinowskich 109
11.1 Jednostronne ideały artinowskie . . . . . . . . . . . . . 109
11.2 Twierdzenie Wedderburna-Artina . . . . . . . . . . . . 113
12 Skończone pierścienie z dzieleniem 119
12.1 Wielomiany podziału koła . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12.2 Twierdzenie Wedderburna . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13 Pierścienie zredukowane 129
13.1 Podstawowe własności pierścieni zredukowanych . . . . 129
13.2 Twierdzenie Andrunakiewicza - Rjabuhina . . . . . . . 132
14 Pierścienie Jacobsona 137
14.1 Podstawowe własności pierścieni Jacobsona . . . . . . . 137
14.2 Pierścienie endomorfizmów grup abelowych . . . . . . . 141
15 Pierścienie regularne w sensie von Neumanna 147
15.1 Podstawowe własności pierścieni regularnych . . . . . . 147
15.2 Pierścienie silnie regularne . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Literatura 159

W przedstawionej do recenzji książce podjęto bardzo ciekawy i aktualny temat badawczy, jakim jest integracja rynków giełdowych. Szczególne znaczenie ma w tym przypadku uwzględnienie okresów kryzysu, odpowiednie ich usytuowanie w czasie i analiza zmian poziomu integracji między badanymi rynkami. [...] Recenzowana książka wpisuje się w nurt dyskusji naukowej na temat sposobów pomiaru integracji rynków giełdowych i zmian tego poziomu w zależności od sytuacji spadkowych i wzrostowych na giełdzie.

Teoria zagadnień brzegowych, pomimo jej szerokiego zastosowania w rozwiązywaniu problemów praktycznych, jest nauczana na polskich uczelniach często jedynie w ramach kursów podstawowych z teorii i równań różniczkowych zwyczajnych, gdzie nie ma wystarczającej ilości miejsca na to zagadnienie. Być może z tego powodu nie opracowano dotąd żadnego odrębnego tekstu, który dotyczyłby wyłącznie problemu liniowych zagadnień brzegowych.
Naszą ideą było wypełnienie luki wydawniczej oraz zapewnienie studentom uniwersyteckim, jak też początkującym badaczom możliwości zapoznania się z problemami liniowych zagadnień brzegowych w złożonej formie.
(Z Przedmowy)

Niniejsza książka jest podręcznikiem do przedmiotu Algebra ogólna II wykładanego w Instytucie Matematyki Uniwersytetu w Białymstoku w oparciu o następujący program:
grupy: grupy przekształceń, działanie grupy na zbiorze, twierdzenia Sylowa, grupy rozwiązalne, grupy proste, struktura skończenie generowanych grup abelowych;
pierścienie: pierścienie wielomianów wielu zmiennych, pierścienie noetherowskie, twierdzenie Hilberta o bazie, zbiory algebraiczne, pierścienie szeregów potęgowych;
ciała: ciała skończone, rozszerzenia algebraiczne, liczby algebraiczne i przestępne, ciało rozkładu wielomianu, równania rozwiązalne w pierwiastnikach, ciała algebraicznie domknięte, zasadnicze
twierdzenie algebry, rozszerzenia konstruowalne, klasyczne konstrukcje geometryczne.

Wieloletnie doświadczenia autora związane z wykładaniem algebry ogólnej pokazały, że przedmiot ten sprawia spore trudności studentom. Okazało się, że powyższy program nie jest łatwo zrealizować w trakcie piętnastu wykładów w sposób przystępny dla słuchaczy bez dysponowania dobrymi materiałami dydaktycznymi. Okazało się też, że odsyłanie studentów do literatury nie jest (z wielu powodów) skutecznym rozwiązaniem problemu. Właśnie dlatego powstał ten skrypt. W oparciu o materiał tu umieszczony można sprawnie prowadzić wykłady ubogacając je dodatkowymi przykładami, uwagami dydaktycznymi, informacjami historycznymi, ciekawostkami, zadaniami, problemami, itp. Materiał tu przedstawiony bazuje na znajomości kursowych wykładów z elementarnej teorii liczb, algebry liniowej i algebry I. (Ze Wstępu).

Fizyka jest nauką ścisłą. Ścisłą nauką o martwej przyrodzie. Dzięki niej
człowiek wynalazł radio i telewizję, mikroprocesory i lasery, a także bombę atomową. Z niej też wynikają prawa rządzące zjawiskami chemicznymi i niektórymi biologicznymi.
I chociaż wiele własności natury ożywionej nie daje się wyjaśnić przy pomocy praw fizyki, to jednak żadne takie własności z prawami tymi nie są sprzeczne. Wydaje się więc, że wykształcony przyrodnik powinien znać i rozumieć podstawowe zasady fizyki. Tym bardziej, że działanie aparatów i przyrządów używanych przez nauki wszelkiego rodzaju oparte jest zawsze na prawach fizyki i chemii.